以下是热力学与统计物理第四部分相关内容
能量
一些定义
- 热平衡系统：处于热平衡的一个系统，如果有一组特定的宏观观测量，则称该系统处于一个特定的平衡态
- 态函数：如果一个系统的一些宏观可观测性质具有固定且明确的值，而与它们如何到达这些值的过程无关，我们称这些性质为态函数
热力学第一定律
热力学第一定律：能量是守恒的，热量和功均是能量形式
内能：系统具有的所有内部自由度相关的能量之和
\[\mathrm{d}U=\mathrm{d}Q+\mathrm{d}W\]则做功为：
\[\mathrm dW=-p\mathrm dV\]热容
$U=U(T,V)$，则:
\[\mathrm{d}U=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\mathrm{d}T+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\mathrm{d}V\]则：
\[\mathrm{d}Q=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}\mathrm{d}T+\left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}+p\right]\mathrm{d}V\\\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}+\left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}+p\right]\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}\]上式对于$T$或$V$的任何变化都成立，但是我们往往考虑等容或等压过程，在等容条件下：
\[C_V=\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\]在等压条件下：
\[C_p=\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_p=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V+\left[\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T+p\right]\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\]定义绝热指数：
\[\gamma=\frac{C_p}{C_V}\]在单原子理想气体的情况下：
\[C_V=\frac32R\\ C_p=\frac52R\\ \gamma = \frac53\]等温和绝热过程
可逆过程：在热力学中，可逆过程是指一种理想化的过程，其中系统和环境在整个过程中都能够保持平衡，并且在任何阶段都可以通过微小的变化逆转，使系统和环境返回到初始状态。换句话说，在可逆过程中，系统在每个步骤上都无限接近于平衡状态，因此过程中没有不可逆的损失或熵的增加。
准静态过程：准静态过程是系统以无限慢的速度经历的一系列平衡状态的过程。在这个过程中，系统在任何时刻都可以被认为处于热力学平衡状态。
等温膨胀
在等温过程中，名副其实，$\Delta T=0$
由$\mathrm{d}U=C_V\mathrm{d}T$，得
\[\Delta U = 0\]因此
\[\Delta Q = -\int \mathrm{d}W=RT\ln\frac{V_2}{V_1}\]绝热膨胀
我们认为绝热过程$\mathrm{d}Q=0$，则$\mathrm{d}U=\mathrm{d}W$
则
\[C_V\mathrm dT=-\frac{RT}{V}\mathrm dV\\ \ln\frac{T_2}{T_1}=\frac{R}{C_V}\ln\frac{V_2}{V_1}\]由$C_p=C_V+R$，得
\[p^{1-\gamma}T^{\gamma}=\text{const}\\ TV^{\gamma-1}=\text{const}\\ pV^{\gamma}=\text{const}\]绝热大气
厚度为d$z$，密度为$\rho$的大气，有：
\[\mathrm{d}p=-\rho g \mathrm{d}z\]则
\[T\frac{\mathrm{d}p}{p}=-\frac{mg}{k_B}\mathrm{d}z\] \[\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}=-\biggl(\frac{\gamma-1}{\gamma}\biggr)\frac{mg}{k_B}\]