以下是热力学与统计物理第二部分相关知识：
麦克斯韦-玻尔兹曼分布
速度分布
我们定义速度分布函数：
\[g(v_x)\propto\exp\frac{-mv_x^2}{2k_BT}\]对这个函数归一化，有：
\[g(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi k_{B}T}}\exp\frac{-mv_x^2}{2k_BT}\] \[\begin{aligned} &\langle v_{x}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}v_{x}g(v_{x})dv_{x}=0 \\ &\langle|v_{x}|\rangle=\sqrt{\frac{2k_{B}T}{\pi m}} \\ &\langle v_{x}^{2}\rangle=\frac{k_{B}T}{m} \end{aligned}\]速率分布
在热力学中，我们更关注系统的速率分布，定义速率分布函数：
\[f(v)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\biggl(\frac{m}{2k_{B}T}\biggr)^{3/2}v^{2}\exp(-\frac{1}{2}mv^{2}\beta)\]我们称这个分布为麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布，我们能求得其速率的期望和均方：
\[\begin{aligned} &\langle v\rangle=\int_{0}^{\infty}vf(v)dv=\sqrt{\frac{8k_{B}T}{\pi m}} \\ &\langle v^{2}\rangle=\frac{3k_{B}T}{m}\\ &\langle E_{KE} \rangle = \frac12 \langle v^{2}\rangle =\frac32k_BT \end{aligned}\]同时我们也能求出$f(v)$的极大值
\[v_{max}=\sqrt{\frac{2k_BT}m}\]压强
压强：压力与接触面积之比
我们定义状态方程：
\[p=f(T,V,N)\]它的一个典型离子是理想气体状态方程：
\[pV=Nk_BT\]理想气体定律
接下来我们导出理想气体状态方程，$f(v)$为麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布，面积为$A$的器壁与垂直方向夹角为$\theta$,在时间 d$t$时间内速度为 $v$的分子恰好撞到器壁上为：
\[\mathrm{d}N=Av\mathrm{d}t\cos\theta\frac{1}{2}\sin\theta\mathrm{d}\theta nf(v)\mathrm{d}v\]则可得到：
\[p=\int_0^\infty\int_0^{\pi/2}2mv\cos\theta v\cos\theta\frac{1}{2}\sin\theta\mathrm{d}\theta nf(v)\mathrm{d}v\\ p=\frac13nm\langle v^2\rangle\]则：
\[pV=Nk_BT\]式中$N$为气体分子总数，若令$R=N_Ak_B$，由$N=N_An$，则得到我们常见的形式：
\[pV=nRT\]道尔顿分压定律
如果处于热平衡的集中气体的混合物，则总压强为混合物各组分的压强的和：
\[p=\sum_ip_i\]分子泻流
泻流：液体或气体从一个非常小的口流出或泄漏的现象，由格拉姆泻流定律：分子的泻流速率反比于泻流分子的质量的平方根。
通量
定义通量：
\[\text{通量}=\frac{\text{某种属性}}{\text{面积}\cdot\text{时间}}\]对于分子通量：
\[\Phi=\frac{n}{St}\] \[\Phi=\int_0^\infty\int_0^{\pi/2}v\cos\theta\frac{1}{2}\sin\theta\mathrm{d}\theta nf(v)\mathrm{d}v\]带入理想气体状态方程，有:
\[\Phi=\frac{p}{\sqrt{2\pi mk_BT}}\]泻流速率
若定义面积为$S$，则泻流速率为$S\Phi$
泻流优先选择速率较快的分子，因此从小孔泻流的分子速率不符合麦克斯韦分布。
由于速率更高的分子有更大的概率到达小孔，即速率分布：
\[f \propto v^3\exp(-\frac{mv^2}{2k_BT})\]平均自由程和碰撞
平均碰撞时间
我们假设所考虑的分子正以速率$v$运动，而气体中的气体分子是静止的，在d$t$内，一个分子将扫过$\sigma v\mathrm{d}t$，则d$t$碰撞的概率为$n\sigma v\mathrm{d}t$，定义$P(t)$为一个分子直到$t$才发生碰撞的概率，则
\[P(t+\mathrm{d})=P(t)(1-n\sigma v\mathrm{d}t)\]整理得
\[P(t)=\exp(-n\sigma vt)\]则我们可以计算两次碰撞之间平均经历时间
\[\begin{aligned} \tau&=\int_0^\infty tP(t)n\sigma v\mathrm{d}t\\ &=frac{1}{n\sigma v} \end{aligned}\]这就是平均碰撞时间。
碰撞截面
考虑两个半径为$a_1$、$a_2$的球形分子，定义碰撞截面
\[\sigma=\pi(a_1+a_2)^2\]平均自由程
平均自由程：在一定的条件下, 一个气体分子在连续两次碰撞之间可能通过的各段自由程的平均值
由平均碰撞时间，我们可以得到：
\[\lambda = \langle v \rangle \tau \approx \frac{1}{\sqrt{2}n\sigma}\]带入状态方程
\[\lambda = \frac{k_BT}{\sqrt{2}p\sigma}\]